Модель Кокса

Для анализа влияния различных количественных факторов использовалась пропорциональная модель Кокса, сначала унивариантный (один влияющий фактор) анализ, а затем мультивариантный анализ (несколько влияющих факторов).

Пусть для каждого -го пациента имеется набор данных , где n - объем выборки, -вектор значений влияющих факторов, - время жизни, - индикатор цензуирования, который принимает значение 1, если наблюдение полное и 0, если цензуированное.

Модель Кокса может быть представлена в следующем виде:

.

В вышеупомянутом выражении - функция риска, зависящая от определенных значений вектора x, - вектор коэффициентов регрессии; определяется как базовая функция риска, то есть, это - уровень риска, когда значения для всех переменных (то есть, в x) равны нулю [2, с. 70].

Для определения вектора коэффициентов максимизируют логарифм функции частичного правдоподобия:

.

В качестве базовой функции риска используют непараметрическую оценку

.

В нашей модели . Значимость коэффициентов регрессии проверяется при помощи статистики Вальда

.

Здесь - стандартная ошибка коэффициента. Величина W распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы.

Значимость регрессии определяется при помощи отношения правдоподобия

Здесь - функция правдоподобия для модели со всеми , а - функция правдоподобия модели, в которой все равны 0. LR имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы (k - количество объясняющих переменных) [3].

Зная функцию можно оценить функцию выживания :

,

где .