Методы

Численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для модели свертывания в системе с перемешиванием производилось вложенным методом Рунге-Кутты-Фельберга порядка 2(3) [8] с помощью специально написанной программы на языке Watcom C++ 10.0. Идея вложенных методов Рунге-Кутты состоит в построении формул, которые давали бы два значения искомой функции в каждой последующей точке: некое приближенное численное значение y и более точное выражение . С помощью последнего можно на каждом шаге управлять погрешностью и длиной шага. Метод Рунге-Кутты-Фельберга 2(3) дает два приближенных решения - второго и третьего порядка точности. Они сравниваются, и, если различие превышает априори заданную точность, шаг уменьшается. Приведем рабочие формулы метода для начальной задачи вида

Они имеют вид:

(1)

где h - шаг метода.

Заданная наперед погрешность ε составляла 0.01 в следующей норме:

(2)

При численном интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных для пространственной задачи была использована следующая схема. Отрезок длиной L, на котором производилось интегрирование, разбивался на N точек. Для дифференциального уравнения в частных производных вида

(3) использовалась пространственная дискретизация

(4)

Для использовалась аппроксимация Нумерова [8]:

,(5)

приводящая к разностной схеме четвертого порядка точности по пространству. Правая часть полученной системы дифференциально - разностных уравнений решалась вложенным методом Рунге-Кутты-Фельберга 2(3) [8].

На границах отрезка были заданы условия не протекания второго порядка для всех переменных, за исключением переменных, соответствующих факторам свертывания, взаимодействующих с факторами на поверхности. Взаимодействие учитывалось следующим образом: пусть переменная отвечает реагенту, взаимодействующему с реагентами на левой стенке сосуда и в объеме в некоторой реакции, такой, что скорость изменения описывается функцией поверхностных переменных и объемных . Тогда граничное условие для имеет вид

(6)

где - коэффициент диффузии фактора , или в дискретном виде

(7)

Для расчета поверхностных переменных также использовался метод Рунге-Кутты-Фельберга 2(3). Используемый численный метод дает второй порядок точности по времени и по пространству.

Задача интегрирования системы уравнений рассматривалась на отрезке прямой длиной L=3 мм, разбитом на 200 точек, заданная погрешность ε=0.01 в той же норме, что и для гомогенных систем.