Математический аппарат

Конкретный алгоритм поиска разладок в ЭЭГ был разработан, в том числе, и с намерением оценить всю иерархию сегментных описаний ЭЭГ в разных временных масштабах. Для этого, во-первых, была принята безоконная система компарации оценок ЭЭГ, позволяющая при поиске неоднородностей учитывать всю запись целиком: сравнение оценок математического ожидания сигнала или его диагностической последовательности проводилось слева и справа от движущейся вдоль записи ЭЭГ точки ее деления на две части. Во-вторых, для более точного вычисления порогового критерия, фиксирование разладок производилось поэтапно: сначала обнаруживалась самая мощная разладка, ставящая границу между двумя наиболее крупными сегментами ЭЭГ записи. Затем процедура повторялась, но уже не для всей записи, а для более однородных ее участков по обе стороны от первой разладки. Относительно разладок второго уровня также формировались еще более однородные участки, которые в свою очередь подвергались поточечному сканированию, и так до того момента, когда количество отсчетов очередного участка ЭЭГ не достигнет порога, ниже которого оценки математического ожидания в данном методе становятся статистически неустойчивыми.

Поскольку при любой технологии поиска моментов физических перестроек в ЭЭГ результаты этого поиска могут быть получены только в вероятностных оценках, существенным преимуществом данного подхода является возможность задавать в явном виде вероятность "ложной тревоги" (детекция отсутствующего сигнала) и "ложного спокойствия" (пропуск имеющегося сигнала) при детектировании границ сегментов. Помимо возможности гибкой оптимизации задачи обнаружения границ сегментов с точки зрения экспериментатора, это позволяет настраивать процедуру на работу в разных временных шкалах. Поднимая пороговый уровень "ложных тревог", например, можно настроиться только на наиболее выраженные межсегментные переходы, оценивая, таким образом, только макроскопическую сегментную структуру ЭЭГ. При снижении порога "ложных тревог" можно получить более детальную "микроскопическую" картину сегментной организации ЭЭГ.

Методология непараметрического анализа основана на двух идеях. Доказано, что определение изменений в любой функции распределения или вероятностной характеристике может быть сведено (с любой степенью точности) к определению изменений в математическом ожидании какой-либо другой последовательности, сформированной из первоначальной. Новую последовательность будем называть диагностической последовательностью. Например, рассматривая автокорреляционные функции

мы сведем задачу к определению изменений в одной из последовательностей . Изменения в автокорреляционных значениях соответствуют изменениям в спектрах мощности, так как спектр мощности равен преобразованию Фурье автокорреляционной функции. В частности идентично полной мощности (по теореме Парсеваля).

Вторая идея подхода - это использование следующего семейства статистик:

Где , , - реализация диагностической последовательности. N - количество отсчетов в этой последовательности (в нашем случае во всей записи ЭЭГ). Это семейство статистик - обобщенный вариант статистики Колмогорова-Смирнова, которая используется для изучения совпадений или различий в функциях распределения двух последовательностей (фиксированного размера n). Другими словами мы рассчитываем разницу между средним значением первых n отсчетов и последних N-n отсчетов, умноженную на коэффициент в зависимости от . Это вычисление проводится для всех n: . Затем мы сравниваем максимум из этих n разностей со специальным порогом. Порог рассчитывается на основе предельных характеристик статистики (при ). Мы принимаем решение о стационарности реализации ЭЭГ если этот порог не достигнут, в противном случае считаем эту точку границей стационарных сегментов.

Метод может характеризоваться с помощью таких величин, как вероятность ложной тревоги (вероятность принятия решения о наличии границы, когда ее на самом деле нет), вероятность ложного спокойствия (вероятность того, что мы не заметим границу там, где она есть на самом деле) и временная погрешность границы сегментов. Для данной статистики эти величины являются функциями, зависящим от . Важное свойство используемой статистики заключается в том, что случай обеспечивает минимум вероятности ложной тревоги, с другой стороны случай соответствует минимуму вероятности ложного спокойствия и случай обеспечивает минимальную временную погрешность границ сегментов.