Математический аппарат

Стационарный случайный процесс

Важным классом случайных процессов являются стационарные процессы. Свойство стационарности означает независимость некоторых характеристик сечений процесса от времени. Конечно, для реальных процессов это условие весьма ограничительно, однако оно выполняется довольно часто, если рассматривать процесс на достаточно коротком интервале времени, в течение которого вероятностные характеристики процесса изменяются мало.

Итак случайный процесс , называют стационарным в узком смысле, если для любых , , и совместное распределение случайных величин одно и то же для всех , таких что, , . То есть, для функции распределения случайного процесса:

Или, что то же самое, для функции плотности вероятностей случайного процесса:

Если стационарный в узком смысле случайный процесс , имеет моменты первого и второго порядка, то его математическое ожидание - постоянно, а ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов:

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание - постоянно, а ковариационная функция зависит от разности аргументов:

Таким образом из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

В той мере, в какой теория случайных процессов отражает явления реального мира, понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает.

ЭЭГ является нестационарным процессом, но короткие ее сегменты по отдельности могут считаться стационарными. То есть можно ввести математическую модель электроэнцефалограммы, как объединение реализаций набора стационарных случайных процессов.

Алгоритмы сегментации ЭЭГ

Метод фиксированных интервалов

В принципе, если длительность минимального участка стационарности составляет, как правило, не менее 2 секунд, то процедура сегментации ЭЭГ сигнала на квази-стационарные фрагменты могла бы состоять из четырех этапов. На первом этапе запись ЭЭГ предварительно разбивается на равные элементарные участки длительностью 2 с. Затем каждый из этих участков получает статистическое описание, состоящее из некоторого набора признаков, например, спектральных оценок. На третьем этапе элементарные участки ЭЭГ классифицируются в соответствии со своими признаками одним из методов многомерной статистики, получая каждый свое классификационное наименование. Наконец, на четвертом этапе "стираются" границы между одноименными элементарными участками, что превращает всю запись ЭЭГ в последовательность сегментов, в рамках которых параметры ЭЭГ остаются относительно постоянными. Каждый такой квази-стационарный сегмент будет отличаться конкретной длительностью и соответствующими типовыми признаками. Если число сегментных классов в реальной ЭЭГ окажется не слишком большим, то идея о кусочно-стационарной организации ЭЭГ получит явное преимущество перед своей альтернативой - изначальным пониманием ЭЭГ как континуального процесса.

Именно такой подход с предварительным разбиением записи ЭЭГ на равные участки (fixed-interval segmentation) использовали в первых работах по сегментации ЭЭГ [11,12]. Количество типовых сегментов ЭЭГ действительно оказалось весьма ограниченным - для разных ЭЭГ не более 15-35 [12], а длительность большинства сегментов не превышала 4 с, что явно свидетельствовало в пользу идеи о кусочно-стационарном устройстве ЭЭГ. Однако существенным недостатком метода сегментации с предварительным разбиением ЭЭГ на элементарные участки равной длительности было то, что какая-то часть из этих участков обязательно должна была прийтись на "стыки" между стационарными сегментами ЭЭГ. Это приводило к появлению целого кластера фрагментов ЭЭГ, содержащих в себе переходные процессы, и потому не являющихся собственно стационарными сегментами. Кроме того, границы между стационарными сегментами определялись, таким образом, достаточно приблизительно, с точностью не менее величины интервала фиксированного разбиения ЭЭГ.