Описание метода

(2)

Здесь F = 4pr2Pd0cos wt.

Для решения уравнения (2) применим комплексный метод. Представим F как действительную часть комплексной величины , x - как действительную часть комплексной величины и подставим эти комплексные числа в соотношение (2). Получим

(3)

Поделив обе части уравнения (3) на exp (iwt), найдём отклик осциллятора на силу :

(4)

Итак, отклик равен силе , умноженной на некоторый множитель, который обычно обозначается буквой R:

.

Решение дифференциального уравнения для x дает функцию отклика для скорости частицы.

(2)

где R и θ определяются формулами (3) и (4) соответственно:

(3)

(4)

Рис 3.1 Значения скоростных откликов (резонансные кривые) для различных сил сцепления

На рис. 3.1 приведены графики величины R. Кривые а - е показывают скоростной отклик R для значений g порядка 0.001, 0.01, 0.05, 0.1 и 0.5, соответственно.

Сила взаимодействия между микрокальцинатами и мягкой тканью зависит, как правило, от смачиваемости частиц. Отношение между смачиваемостью и сцеплением можно рассматривать в терминах межфазного напряжения, являющегося функцией свободной энергии на единицу площади поверхности раздела. Работа WCS силы сцепления между микрокальцинатом C и мягкой тканью S определяется как приращение свободной энергии, приводящее к разделению двух компонентов. Если γi (i = C; S)- поверхностное натяжение, то:

(5)

Если θCS - угол контакта между микрокальцинатом и мягкой тканью, то

(6)

Или

(7)

Величина называется адгезионным напряжением и является мерой коэффициента k.

Для различных биологических жидкостей (слюна, "телесная" жидкость, кровь и пр.) величина γS лежит в диапазоне 15-60 дин/см. Эта величина для внутритканевой жидкости, которая, в первую очередь, отвечает за смачивание микрокальцинатов, может иметь сопоставимое значение, а константа kCS может лежать в диапазоне 10-100 дин/см, в зависимости от морфологии поверхности, угла контакта θ и величины gS. В пределах тканевого объёма адгезионное напряжение между соседними областями определяется слабыми физическими силами водородных связей. Связывающая энергия водородных связей, как правило, имеет порядок 5-10 Ккал/моль, что приводит к тому, что константа kSS для ткани имеет порядок 105 дин/см.

На рис.3.1 (а-е) представлены значения скоростных откликов для микрокальцинатных включений с размерами между 100 и 500 микрон на частоте возбуждения около 100 Гц (при значении абсциссы, равном 1). Для окружающих мягких тканей величина w/w0=ωd/ωn (см. формулу (1)) меньше, чем 10-5 и далеко отстоит от пика резонансной частоты колебаний микрокальцината. Таким образом, микрокальцинат в ответ на внешнее возбуждение может начать сильно вибрировать, в то время как окружающая ткань этого не делает. Если, одновременно с внешней вибрацией, среда облучается высокой частотой визуализации f0, то резонансный эхо-сигнал, отраженный от микрокальцината, будет частотно модулирован благодаря эффекту Доплера. Частотный сдвиг Δf(r) равен:

(8)

где Fd0 = 4πr2.

На частоте, близкой к резонансной, ωd/ωn = 1. Следовательно, R=l/2ς, φ =π/2 и доплеровский сдвиг равен:

, (9)

где нижний индекс R представляет резонанс, а x=g/2. Так как микрокальцинат движется к и от датчика, доплеровский спектр будет лежать в интервале :

от до